양자 몬테카를로(Quantum Monte Carlo) 방법 상세 설명

양자 몬테카를로(Quantum Monte Carlo) 방법은 몬테카를로 방법이 양자 역학에 적용된 사례로, 복잡한 양자 시스템을 연구하기 위해 사용되는 여러 종류의 계산 방법론을 포괄한다. 양자 몬테카를로 방법의 주요 목표 중 하나는 Quantum many-body 문제의 신뢰할 수 있는 솔루션(또는 정확한 근삿값)을 제공하는 것이다. 양자 몬테카를로 접근법에는 다양한 종류가 있지만, Many-body 문제의 다양한 공식에서 발생하는 다차원 적분을 처리하기 위해 몬테카를로 방법을 사용한다는 공통점이 있다.
양자 몬테카를로 방법을 사용할 경우 기존 평균장 이론(Mean-field theory)과는 달리 파동 함수로 표현된 복잡한 Many-body 효과를 직접 처리하고 설명할 수 있다. 특히, 보손(Boson) 시스템의 정적 속성을 기하학적으로 문제 되는 일 없이 정확하게 연구할 수 있는 수치적으로 정확하고 다항식 단위로 스케일링 되는 알고리즘이 존재한다. 페르미온(Fermion)의 경우 정적 속성에 대한 근사치를 계산하는 알고리즘과 수치적으로 정확하고 기하급수적으로 스케일링 되는 양자 몬테카를로 알고리즘이 있지만 두 특성을 모두 갖는 알고리즘은 없다.
원칙적으로 구성 입자가 "너무" 빠르게 움직이지 않는 한, 즉 빛과 같은 속도로 움직이지 않고 상대론적 효과를 무시할 수 있는 경우 모든 물리적 시스템은 Many-body 시스템에 대한 Schrodiger 방정식으로 설명할 수 있다. 이것은 응집물질계(Condensed matter), Bose-Einstein 응축물 및 액체 헬륨을 포함하는 광범위한 영역에 대한 전자구조에 대해서도 참인 명제이다. 따라서, 주어진 시스템에 대한 Schrodiger 방정식을 풀 수 있다면 재료 과학에서부터 복잡한 생물학적 시스템에 이르는 중요한 응용 분야에 이르는 다양한 시스템의 거동을 예측할 수 있게 된다.
그러나 Many-body 시스템에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀기 위해서는 일반적으로 입자 수가 많은 경우 기하급수적으로 크기가 증가하는 Many-body Hilbert 공간상의 Many-body 파동 함수에 대한 지식이 필요하다는 어려움이 있다. 따라서 실제 연구할 가치가 있는 많은 수의 입자에 대한 해를 합리적인 시간 내에 구하는 것은 현대의 병렬 컴퓨팅 기술로도 일반적으로는 불가능하다. 전통적으로, Many-body 시스템에 대한 파동함수는 One-body 오비탈에 대한 비대칭함수로 근사하여 Schrodiger 방정식을 다루기 쉽도록 바꾸게 되는데, 이러한 근사법의 경우 Hartree-Fock 방법과 같이 Quantum many-body 시스템의 Correlation에 대한 효과를 제한하거나 매우 느리게 수렴하는 등 몇 가지 단점이 존재한다.
양자 몬테카를로 방법은 이러한 근사치를 넘어 Many-body 시스템에 대한 문제 및 Many-body 시스템의 파동 함수를 직접 연구하는 방법이다. 가장 진보된 양자 몬테카를로 접근법은 상호작용하는 페르미온 시스템에 대한 대략적인 설명을 제공하며, 방해받지 않고 상호 작용하는 보손 시스템에 대한 Many-body 문제에 대한 정확한 해를 제공한다. 양자 몬테카를로 방법에는 여러 종류가 있으나, 이들 중 밀도 행렬을 계산하는 경로 적분 몬테카를로(Path Integral Monte Carlo) 및 유한 온도 보조장 몬테카를로(Finite-temperature Auxiliary-field Monte Carlo)를 제외한 대부분의 방법은 시스템의 바닥 상태 파동 함수를 계산하는 것을 목표로 한다. 정적 속성 외에도 시간 종속적 Schrodinger 방정식은 시간 종속적 변동 몬테카를로(Time-dependent variational Monte Carlo)에서 수행된 것처럼 시간에 따른 파동 함수의 기능적 형태를 제한하기는 하지만 대략적으로만 풀 수 있다. 하지만, 양자 몬테카를로 방법 역시 몬테카를로 방법의 일종이므로 해를 얻기 위해서는 많은 수의 포인트에 대한 계산을 수행할 필요가 있다.
양자 몬테카를로 방법의 종류로는 0K의 바닥 상태에서 적용되는 Variational Monte Carlo, Gaussian quantum Monte Carlo, 경로 적분 바닥 상태 몬테카를로, 온도가 존재하는(Finite-temperature) 경우에 적용되는 보조장 몬테카를로, Continuous-time quantum Monte Carlo, Hybrid quantum Monte Carlo 및 실제 시스템의 시간에 따른 움직임을 설명하는 시간 종속적 변동 몬테카를로 등이 있다. 여기서 Variational Monte Carlo 방법에는 Diffusion Monte Carlo, Reptation Monte Carlo 등으로 분류할 수 있다.
이 중에서, 경로 적분 몬테카를로 방법은 경로 적분(Path integral) 공식을 사용해서 수치적으로 양자 통계 역학 문제를 해결하는 데 사용된다. 이 방법의 경우 일반적으로 Exchange 상태에서 대칭(Symmetry) 및 반대칭(Antisymmetry)을 무시할 수 있다는 가정하에 적용된다. 즉, 동일한 입자는 페르미온 및 보손 입자와 반대로 양자 볼츠만 입자라고 가정한다. 경로 적분 몬테카를로 방법은 시스템의 에너지, 열용량 등의 열역학적 특성을 계산하는 데 사용된다.